Misleidende beursberichten (IVOR nr. 124) 2022/8.4.2.3:8.4.2.3 Event study; de methodologie

Misleidende beursberichten (IVOR nr. 124) 2022/8.4.2.3

8.4.2.3 Event study; de methodologie

Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.

a. De methodologie in het kort

De basisgedachte die aan een event study ten grondslag ligt, is relatief eenvoudig. In het kort komt deze op het volgende neer.1,2 Om te kunnen bepalen of bepaalde informatie van invloed was op de beurskoers, moet eerst worden vastgesteld – of beter gezegd: geschat – wat het aandelenrendement zou zijn geweest bij afwezigheid van deze informatie.3 Dit verwachte rendement wordt verkregen met behulp van statistische regressieanalyse: eerst wordt over een bepaalde controleperiode (de ‘estimation period’) een (historische) relatie geschat tussen enerzijds het rendement op het litigieuze aandeel en anderzijds het rendement op een bepaalde benchmark, vervolgens wordt aan de hand van deze geschatte relatie in combinatie met het in werkelijkheid op de benchmark gemeten rendement voorspeld wat het rendement op het litigieuze aandeel zou zijn geweest zonder de litigieuze informatie. Dit verwachte rendement wordt daarna vergeleken met het in werkelijkheid geobserveerde rendement, en gekeken wordt hoe groot het verschil is. Dit verschil noemt men het ‘abnormale’ of ‘excessieve’ rendement. Aangenomen dat het tijdstip waarop de onderzochte informatie de markt bereikte correct is geïdentificeerd, en aangenomen dat rondom dit tijdstip geen andere relevante bedrijfsspecifieke informatie werd gepubliceerd, wordt er voorshands van uitgegaan dat het abnormale rendement het koerseffect weerspiegelt van de onderzochte informatie. Vervolgens moet (statistisch) worden getoetst of het geobserveerde abnormale rendement inderdaad op deze informatie is terug te voeren, en of het niet louter op toeval berust. Dit doet men door te toetsen op statistische significantie. Kan het geobserveerde abnormale rendement als statistisch significant worden aangemerkt, dan wordt de nulhypothese dat dit rendement louter aan toeval is te wijten verworpen, en wordt aangenomen dat de geobserveerde koersreactie inderdaad door de litigieuze informatie is veroorzaakt.

Bij het uitvoeren van een event study kunnen grosso modo drie stappen worden onderscheiden: eerst wordt het tijdvak bepaald waarin de litigieuze informatie de markt bereikte (de zogenoemde ‘event window’), vervolgens wordt het over dit tijdvak behaalde abnormale rendement berekend, en daarna wordt getoetst of dit abnormale rendement statistisch significant is.4 Deze drie stappen worden hierna achtereenvolgens besproken.

b. Het vaststellen van de event window

De eerste stap in de event study is het bepalen van de event window.5 Wanneer de te onderzoeken mededeling voor de markt als een complete verrassing kwam en daar door de markt nog niet op was geanticipeerd, kan het begin van de event window gemakkelijk worden vastgesteld. De event window begint dan op de dag waarop de mededeling werd gepubliceerd. Wanneer de markt echter al geheel of gedeeltelijk op de litigieuze mededeling vooruit was gelopen, kan het relatief lastig zijn om het begin van de event window vast te stellen. Dit kan bijvoorbeeld het geval zijn wanneer sprake was van een lek waardoor handel met voorkennis (eventueel in combinatie met geruchtenvorming) is ontstaan of wanneer de markt reeds vóór de officiële publicatie op eigen kracht tot een juiste voorstelling van zaken kwam.6 In dat geval zal het tijdstip moeten worden bepaald waarop marktpartijen bij hun transacties voor het eerst rekening begonnen te houden met de litigieuze informatie.7 Soms is het problematisch om dit tijdstip exact vast te kunnen stellen, aangezien dergelijke insider transacties niet altijd direct hoeven te resulteren in een zichtbare (en significante) koersreactie. Een eventuele oplossing voor dit probleem kan zijn om niet alleen naar de koersbewegingen voorafgaand aan de publicatie van de onderzochte mededeling te kijken, maar om deze koersbewegingen in samenhang te zien met ontwikkelingen in het handelsvolume van het litigieuze aandeel.8 Was in de dagen of weken voorafgaand aan de onderzochte mededeling immers sprake van een (statistisch significante) abnormale toename van het handelsvolume9 en kan deze toename niet worden verklaard door de publicatie van andere bedrijfsspecifieke informatie, dan is zeer aannemelijk dat de oorzaak hiervan is gelegen in het feit dat bepaalde marktpartijen alvast op de publicatie van de litigieuze mededeling vooruit liepen.

Of het vaststellen van het einde van de event window al dan niet eenvoudig is, hangt ervan af hoe snel de nieuwe informatie beschikbaar komt, en hoe snel deze informatie (correct en volledig) in de koers wordt verwerkt. Meestal zal de nieuwe informatie door middel van één enkele mededeling bekend worden gemaakt, en zal zij in zeer kort tijdsbestek in de koers worden verwerkt. In zo’n geval kan het einde van de event window gemakkelijk worden vastgesteld.10 De event window eindigt dan op de handelsdag waarop de onderzochte mededeling werd gepubliceerd.11 En wanneer de mededeling nabeurs werd gepubliceerd, eindigt de event window op de eerstvolgende handelsdag. Overigens kan er in beide gevallen desgewenst voor worden gekozen om de event window één dag langer te laten duren, om er zeker van te zijn dat het volledige koerseffect van de litigieuze mededeling door de event window wordt omvat.12

Het komt echter ook nogal eens voor dat de markt de nieuwe informatie niet meteen op waarde kan schatten, en zij enkele dagen nodig heeft om de nieuwe informatie op correcte (en volledige) wijze in de koers te verwerken.13 Denk bijvoorbeeld aan de situatie waarin naar aanleiding van de corrigerende mededeling een paniekreactie plaatsvindt, en waarin het enkele dagen duurt voordat de koers zich heeft hersteld.14 In zo’n geval moet de event window met een aantal handelsdagen worden verlengd om haar mede de periode te laten omvatten waarover het koersherstel plaatsvindt. Zou men dat niet doen en zou de event window ‘gewoon’ worden afgekapt op de handelsdag waarop de corrigerende mededeling werd gepubliceerd (of op de eerste daaropvolgende handelsdag), dan zou de paniekreactie an sich worden aangemerkt als het koerseffect van de litigieuze informatie, en zou het nadien ingetreden koersherstel ten onrechte buiten beschouwing worden gelaten.

In de situatie waarin de markt enkele dagen nodig heeft om de nieuwe informatie op waarde te schatten, kan het overigens wel problematisch zijn om vast te stellen wanneer nu precies alle informatie (juist en volledig) in de koers is verwerkt.15 Een eventuele oplossing voor dit probleem kan zijn om te kijken naar ontwikkelingen in het handelsvolume van het litigieuze aandeel.16 Zolang na publicatie van de litigieuze mededeling immers nog abnormale volumebewegingen worden geobserveerd, en deze volumebewegingen niet kunnen worden verklaard door de publicatie van andere bedrijfsspecifieke informatie, is aannemelijk dat de markt nog bezig is de nieuwe informatie te absorberen. Een andere oplossing kan gelegen zijn in het uitvoeren van een zogenoemde ‘content analysis’.17 Bij deze oplossing wordt gekeken naar berichten in de (sociale) media en/of analistenrapporten die rondom de publicatie van de litigieuze mededeling over de onderzochte vennootschap zijn verschenen, teneinde te achterhalen hoe lang het duurt voordat de markt de nieuwe informatie volledig heeft verwerkt.18 De gedachte is dat zolang in de (sociale) media en/of door analisten nog over de litigieuze informatie wordt gerapporteerd, de markt kennelijk nog bezig is de nieuwe informatie tot zich te nemen.19

Wanneer wordt overwogen om de event window met een aantal dagen uit te breiden, is het van belang te beseffen dat men bij het bepalen van de lengte van de event window wordt geconfronteerd met een zogenoemde ‘trade-off’.20 Aan de ene kant is het wenselijk om de event window een zo lang mogelijke periode te laten beslaan, omdat men dan zeker weet dat het volledige koerseffect dat met de litigieuze informatie verband houdt, in kaart wordt gebracht. De keerzijde van een lang(er) event window is echter dat de kans dat tijdens de event period ook andere bedrijfsspecifieke informatie en/of ruis op de koers inwerken (het betreft hier zogenoemde ‘confounding events’), aanzienlijk toeneemt.21 Bij (de aanwezigheid van) dergelijke confounding events zal het in beginsel moeilijker zijn om het koerseffect van de litigieuze informatie te isoleren van de andere informatie die op de koers inwerkt.

In het licht van deze trade-off benadruk ik dat het kiezen van de juiste event window één van de meest cruciale onderdelen van de event study is.22 Voor de uitkomst van de event study kan het immers nogal een verschil maken of een iets langer dan wel een iets korter event window wordt gekozen, en ook kan het uitmaken waar precies in het tijdvak van de misleiding de event window wordt geplaatst.23 Hierbij moet worden aangetekend dat de uitkomst van de event study in het algemeen gevoeliger zal zijn voor de keuze van de (lengte en ligging van de) event window, dan voor bijvoorbeeld de keuze van de – hierna sub c te bespreken – estimation window.24 Het kiezen van de juiste event window is dan ook het onderdeel van de event study waar in het processuele debat over de koersinvloed van de litigieuze informatie doorgaans de meeste onzekerheid (en derhalve discussie) over bestaat. Ter illustratie van deze onzekerheid noem ik hier nog een drietal situaties waarin het vaststellen van de correcte (lengte en ligging van de) event window problematisch kan zijn, en waarin dat dus de nodige aandacht behoeft.

In de eerste plaats wijs ik op de situatie waarin de misleiding door verschillende opeenvolgende (expliciete of impliciete) corrigerende mededelingen bekend wordt gemaakt. De corrigerende mededelingen zijn met andere woorden zogenoemde ‘partiële’ corrigerende mededelingen.25 Twee scenario’s kunnen in dit verband worden onderscheiden.26 In de eerste plaats kan uit latere (corrigerende) mededelingen blijken dat de omvang van de misleiding groter is dan aanvankelijk (naar aanleiding van eerste corrigerende mededeling) werd verwacht. In dat geval zal de koers in reactie op deze nieuwe informatie verder dalen. In de tweede plaats kan uit latere mededelingen echter ook blijken dat de misleiding kleiner is dan aanvankelijk werd gedacht. In dat geval zal de koers in reactie op dit nieuws stijgen. De complicatie die zich bij verschillende opeenvolgende corrigerende mededelingen voordoet, is dat niet kan worden volstaan met (het analyseren van de koersreactie in) één enkel event window. In plaats daarvan moet men werken met verschillende event windows, en wel zodanig dat rondom het tijdstip van elke partiële corrigerende mededeling een afzonderlijk event window wordt geconstrueerd. Vervolgens moet in elke afzonderlijke event window de koersreactie die verband houdt met de desbetreffende partiële mededeling worden geanalyseerd.

In de tweede plaats wijs ik op het scenario dat bekend staat als het ‘uitdoven’ van de koersinflatie als gevolg van het bekend worden van de ware financiële toestand van de vennootschap. Zoals beschreven in hoofdstuk 4, doet dit scenario zich voor wanneer de vennootschap, na gedurende een bepaalde periode de resultaten te rooskleurig te hebben voorgesteld, op een gegeven moment weer correcte resultaten is gaan publiceren, zonder dat zij daar een expliciete winstwaarschuwing aan vooraf heeft laten gaan.27 Als sindsdien verschillende periodes zijn verstreken waarover de vennootschap correcte winstcijfers heeft gepubliceerd, hebben voor de huidige aandelenkoers de misleidende cijfers inmiddels hun relevantie verloren. De koersinflatie die zich aanvankelijk als gevolg van de misleiding had gevormd, is dan geleidelijk ‘uitgedoofd’. Evenals in de hiervoor beschreven situatie, zal ook in dit scenario moeten worden gewerkt met verschillende event windows. De eerste event window zal moeten worden geconstrueerd rondom het tijdstip waarop de vennootschap voor het eerst weer correcte resultaten ging publiceren. Vervolgens kan iedere daaropvolgende publicatie van (correcte) resultaten worden beschouwd als een soort impliciete corrigerende mededeling en kan rondom elke corrigerende mededeling een afzonderlijk event window worden geconstrueerd. De laatste event window wordt geconstrueerd rondom het tijstip van de corrigerende mededeling waarmee het laatste stukje koersinflatie uit de koers liep. In de praktijk zal het niet zelden lastig zijn deze laatste corrigerende mededeling (correct) te identificeren. Afgezien van de complicatie dat in dit scenario met verschillende event windows moet worden gewerkt, doet zich in dit scenario nog een ander probleem voor. Dat probleem is dat de koersreactie die over de verschillende event windows wordt gemeten niet alleen het koerseffect weerspiegelt van het (gedeeltelijk) uit de koers lopen van de koersinflatie, maar tevens het koerseffect van de andere bedrijfsspecifieke informatie die met de desbetreffende publicatie van financiële resultaten naar buiten kwam. Aangezien men alleen geïnteresseerd is in het eerstgenoemde koerseffect, zullen beide effecten van elkaar moeten worden geïsoleerd. Over dit probleem kom ik in § 8.4.2.4 nader te spreken.

In de derde plaats wijs ik op de situatie waarin de ware financiële toestand van de vennootschap door kleine stukjes (correcte) informatie geleidelijk aan het licht komt.28 In dit verband kan bijvoorbeeld worden gedacht aan het scenario dat bekend staat als ‘walking down the stock price’. Zoals beschreven in hoofdstuk 4, houdt dit scenario in dat de vennootschap stapje voor stapje informatie publiceert waaruit het beleggende publiek (althans, het professionele deel daarvan) kan afleiden dat de huidige beurskoers te hoog is.29 Arbitrageurs en andere professionele beleggers zullen op deze nieuw verkregen informatie gaan handelen, met als gevolg dat de koersinflatie geleidelijk zal afnemen. De complicatie die zich in dit scenario voordoet, is dat de misleiding over een relatief lange periode naar buiten komt, zodat in eerste instantie sprake is van een relatief groot event window. Hierdoor is de aanzienlijke kans aanwezig dat de beurskoers in deze periode ook wordt beïnvloed door andere bedrijfsspecifieke informatie. Om ondanks de relatief lange periode waarover de misleiding bekend wordt het koerseffect van de litigieuze informatie toch zo nauwkeurig mogelijk in kaart te brengen, moet men proberen om de verschillende tijdstippen waarop de vennootschap met informatie naar buiten kwam, zo goed mogelijk te identificeren.30 Als dat lukt, is de volgende stap dat rondom elk geïdentificeerd tijdstip een apart event window wordt geconstrueerd, en dat voor elke afzonderlijke event window de koersreactie die verband houdt met het desbetreffende stukje litigieuze informatie wordt geanalyseerd. Door in plaats van met één groot event window met verschillende kleine ‘sub event windows’ te werken, kunnen op deze wijze de nadelen van een groot event window dus worden vermeden.

c. Berekenen abnormale rendement door te corrigeren voor de koersinvloed van markt- en/of sectorspecifieke factoren

1. Het marktmodel

Wanneer de event window eenmaal is vastgesteld, is de volgende stap in de event study om over de event period het zogenoemde ‘abnormale rendement’ te berekenen, dat wil zeggen het rendement dat is terug te voeren op de litigieuze informatie (ervan uitgaande dat er in deze periode geen andere bedrijfsspecifieke informatie werd gepubliceerd).31 Dit abnormale rendement wordt verkregen door de over de event period geobserveerde koersreactie te corrigeren voor (het koerseffect veroorzaakt door) markt- en/of sectorspecifieke factoren. In de praktijk vindt deze correctie meestal plaats aan de hand van het zogenoemde ‘marktmodel’.32 Het marktmodel is een statistisch-theoretisch model dat een relatie veronderstelt tussen enerzijds het rendement van het litigieuze aandeel en anderzijds het rendement op een markt- en/of sector-index. Algebraïsch ziet dit model er als volgt uit:33

id-6430a2fa-2958-4585-9b08-ad81027d6c41

waarbij rt, Mt en It staan voor respectievelijk het rendement gemeten over periode t op het litigieuze aandeel, een relevante marktindex en een relevante sectorindex, waarbij α, β1 en β2 de modelparameters zijn, en waarbij εt staat voor de storingsterm, die niet is gecorreleerd met (het rendement op) de marktindex of de sector-index en die een verwachtingswaarde heeft van nul. In het marktmodel wordt dus ervan uitgegaan dat het rendement van het litigieuze aandeel een lineaire functie is zowel van het marktrendement als het sectorrendement. Hierbij is parameter β1 een maatstaf voor de gevoeligheid van het eerstgenoemde rendement voor het marktrendement, en parameter β2 een maatstaf voor de gevoeligheid van dit rendement voor het sectorrendement.34 Verder merk ik op dat het in de praktijk gebruikelijk is om de genoemde rendementen te meten over het tijdsinterval van één dag (het onderschrift t staat dus voor de duur van één handelsdag), maar dat het desgewenst ook mogelijk is om de rendementen te meten over een korter dan wel langer tijdsinterval (bijvoorbeeld per uur of per minuut respectievelijk per week of per maand).

Het marktmodel wordt geschat met behulp van zogenoemde ‘regressieanalyse’. Regressieanalyse is een statistische techniek die kan worden gebruikt om de samenhang te meten tussen een bepaalde te onderzoeken grootheid (de zogenoemde ‘afhankelijke variabele’) en een of meer andere variabelen (de zogenoemde ‘onafhankelijke variabelen’).35 Toepassing van regressieanalyse op het marktmodel houdt dus in dat een relatie wordt geschat tussen enerzijds het rendement op het litigieuze aandeel en anderzijds het marktrendement en het sectorrendement. Bij het schatten van deze relatie zal – naast de keuze voor (lengte en ligging van) de event window – een tweetal nieuwe keuzes in de analyse moeten worden gemaakt. In de eerste plaats zal een keuze moeten worden gemaakt voor het tijdvak waarover deze relatie wordt geschat. In de tweede plaats zal een keuze moeten worden gemaakt voor de markt- en sector-index die in de regressie worden gebruikt als verklarende variabelen. Over beide keuzes kom ik hierna nog te spreken.

Als het marktmodel eenmaal is geschat, kan aan de hand van de geschatte parameters α, β1 en β2 in combinatie met het in werkelijkheid geobserveerde markt- en sectorrendement worden voorspeld wat het rendement zou zijn geweest bij afwezigheid van de litigieuze informatie. Dit verwachte rendement wordt vervolgens vergeleken met het actuele rendement op het litigieuze aandeel, en het verschil betreft het abnormale rendement.36,37 Algebraïsch ziet dit er als volgt uit:

a3caa9ac-3539-4f24-ae44-a45ab4c83054

waarbij art staat voor het abnormale rendement op het onderzochte aandeel over periode t.

Zoals hierboven sub b uiteengezet, is het niet ongebruikelijk dat de event window meer dan één handelsdag beslaat. Als men in zo’n geval de koersinvloed van de litigieuze informatie wil bepalen, kan niet worden volstaan met het berekenen van het abnormale rendement op één enkele handelsdag. In plaats daarvan moet over de gehele event window het zogenoemde ‘cumulative abnormal return’ (‘CAR’) worden berekend.38 Dit houdt in dat eerst voor alle dagen uit de event period afzonderlijk het abnormale rendement wordt berekend, en dat vervolgens de afzonderlijke abnormale rendementen van de verschillende event days worden gecumuleerd.39 Algebraïsch ziet dit er als volgt uit:

id-0b088457-29f8-4978-82af-f229285a912d

waarbij T staat voor het totaal aantal dagen in de event window.40 Bij een event period die meer dan één handelsdag omvat, meet de CAR dus het totale koerseffect van de litigieuze informatie.

2. Keuze van de ‘estimation window’

Alvorens het marktmodel te kunnen schatten, zal zoals gezegd eerst een keuze moeten worden gemaakt voor de periode waarover de relatie tussen het rendement op het litigieuze aandeel en het markt- en sectorrendement wordt geschat (de zogenoemde ‘estimation window’ of ‘estimation period’).41 Deze keuze omvat twee deelkeuzes. In de eerste plaats zal een keuze moeten worden gemaakt over de ligging van de estimation window, in de tweede plaats zal een keuze moeten worden gemaakt over de lengte van de estimation window.42 Over de ligging van de estimation window merk ik op dat het wenselijk is voor deze periode een tijdvak te kiezen dat zo dicht mogelijk in de buurt ligt van de event period.43 De reden hiervoor is dat de (statistische) relatie tussen het rendement op het litigieuze aandeel en het markt- en sectorrendement in de tijd kan veranderen.44 Wanneer voor de estimation period dus een tijdvak zou worden gekozen dat (in de tijd gezien) ver is verwijderd van de event period, bestaat het reële gevaar dat de over de estimation period geschatte relatie niet representatief (meer) is voor de relatie die bestond ten tijde van de event period. Dit zou als consequentie kunnen hebben dat de (uitkomst van de) event study onbetrouwbaar wordt.

Ervan uitgaande dat het mogelijk is een estimation period te kiezen die in de buurt ligt van de event period, is vervolgens de vraag hoe de estimation window precies wordt geconstrueerd. Hiervoor bestaan grosso modo drie mogelijkheden.45 Ten eerste kan de estimation window worden geplaatst vlak vóór het tijdvak van de event window, ten tweede kan zij worden geplaatst rondom het tijdvak van de event window, ten derde kan zij worden geplaatst vlak na het tijdvak van de event window. In de praktijk wordt meestal gekozen voor de eerstgenoemde optie, maar ook de tweede en derde optie komen wel voor. Een situatie waarin voor de tweede optie wordt gekozen, is wanneer in de event study met verschillende event windows wordt gewerkt, waarbij de afzonderlijke event windows over een wat langere periode zijn gespreid (zie voor verschillende scenario’s waarin dat het geval kan zijn hierboven sub b). Om in zo’n situatie een representatieve schatting van het marktmodel te krijgen, ligt het voor de hand om de estimation window rondom de verschillende event windows te plaatsen, en wel zodanig dat de periodes die tussen de verschillende event windows liggen, door de estimation window worden omsloten. Een situatie waarin voor de derde optie wordt gekozen, is wanneer er voor de periode die is gelegen vóór de event period onvoldoende handelsdagen (en derhalve koersdata) beschikbaar zijn om daarbinnen een estimation window te construeren die voldoende lang is (lees: voldoende handelsdagen bevat) om betrouwbare schattingen te krijgen.46 In dit verband kan bijvoorbeeld worden gedacht aan de situatie waarin de event period kort volgt (bijvoorbeeld aantal dagen of weken) op het tijdstip van een beursintroductie.47 Aangezien er bij een beursintroductie voor de periode vlak na de event window waarschijnlijk wel voldoende handelsdagen beschikbaar zijn, ligt het in zo’n geval voor de hand om de estimation window na het tijdvak van de event window te plaatsen. Een andere situatie waarin het de voorkeur verdient om de estimation window na het tijdvak van de event window te plaatsen, is wanneer de periode vóór de event window qua beleggerssentiment en volatiliteit niet overeenkomt met – en derhalve niet representatief is voor – de event period.48 In zo’n geval is de relatie tussen het rendement op het litigieuze aandeel en het markt- en sectorrendement in de periode vóór de event window immers niet representatief voor de relatie tussen deze variabelen ten tijde van de event window.

Over de lengte van de estimation period merk ik op dat hier – evenals bij de lengte van de event window het geval was – wederom sprake is van een ‘trade-off’.49 Aan de ene kant geldt dat hoe langer de estimation window is, hoe meer handelsdagen met koersdata zij bevat, en dus hoe accurater de schatting van het marktmodel. Aan de andere kant geldt dat hoe verder het begin- of eindpunt van de estimation window (in de tijd gezien) is verwijderd van de event period, hoe waarschijnlijker het is dat de over de estimation period geschatte relatie niet representatief meer is voor de relatie ten tijde van de event period.50

3. Keuze van de markt- en sectorindex

Om het marktmodel te kunnen schatten, zal tevens nog een keuze moeten worden gemaakt voor de (samenstelling van de) markt- en sector-index die in de regressie worden gebruikt als verklarende variabelen.51 Over de keuze van de marktindex zal doorgaans geen discussie bestaan. In de Verenigde Staten ligt het voor de hand om te kiezen voor een standaard marktindex als de S&P 500 of de Dow Jones, in Nederland ligt het voor de hand om te kiezen voor de AEX. De keuze van de juiste sector-index is echter minder triviaal. Dit omdat niet altijd een standaard sector-index beschikbaar zal zijn, en als die wel beschikbaar is, hoeft deze niet zonder meer geschikt te zijn voor de in het concrete geval uit te voeren regressie (bijvoorbeeld omdat het profiel van de onderzochte beursvennootschap te veel afwijkt van het profiel van (een deel van) de vennootschappen uit de index). De consequentie hiervan is dat over de juiste samenstelling van de sector-index de nodige discussie zal bestaan.52

Een eerste manier om de discussie over de juiste samenstelling van de sector-index te beslechten, is door gebruik te maken van openbare (en objectieve) informatiebronnen.53 Men kan bijvoorbeeld kijken naar de vennootschappen die in het (halfjaarlijkse) bestuursverslag door de onderzochte beursvennootschap zelf als haar peers worden genoemd en/of naar de vennootschappen die in analistenrapporten als haar peers worden aangemerkt, en aan de hand van deze vennootschappen een eigen sector-index samenstellen.54 En indien wel standaard sector-indices beschikbaar zijn, kan ook worden gekeken naar de samenstelling van deze indices en aan de hand daarvan een passende sector-index samenstellen.55 Desgewenst is het uiteraard ook mogelijk deze standaard indices ‘gewoon’ integraal over te nemen.

Een andere manier om duidelijkheid te krijgen over de juiste (samenstelling van de) sector-index, is door te kijken naar de mate waarin het rendement op het litigieuze aandeel en het sector-rendement met elkaar samenhangen.56 De sterkte van deze samenhang kan worden gemeten door over de zojuist gekozen estimation period een (voorlopige) regressieanalyse uit te voeren naar de relatie tussen enerzijds het rendement op het litigieuze aandeel en anderzijds het rendement op de reeds geselecteerde marktindex en het rendement op de nog te selecteren sector-index (bedoeld wordt de sector-index die men overweegt te gebruiken in de definitieve regressieanalyse), en door vervolgens te kijken naar de zogenoemde ‘R-squared’ van de regressie.57 De R-squared is een standaard output statistic van elke regressie en vormt een maatstaf voor de sterkte van de relatie tussen de afhankelijke variabele (in dit geval het rendement op het litigieuze aandeel) en de verklarende variabelen (in dit geval het marktrendement en het sectorrendement).58 In het algemeen geldt hoe groter de R-squared, hoe sterker deze relatie. Een andere maatstaf om de sterkte van de relatie tussen het rendement op het litigieuze aandeel en (specifiek) het sectorrendement te beoordelen, is de grootte van de (in voormelde regressie) geschatte parameter behorend bij het sectorrendement (parameter β̂̂2).59 Deze parameter meet zoals ik al opmerkte de gevoeligheid van het rendement van het litigieuze aandeel voor het sectorrendement. Hoe groter deze parameter (of anders gezegd: hoe meer (statistisch) significant deze parameter afwijkt van nul), hoe sterker voormelde relatie.

d. Het toetsen op statistische significantie

Als het over de event period gemeten actuele rendement afwijkt van het (op basis van de regressieanalyse) verwachte rendement (dus als het gemeten abnormale rendement groter of kleiner is dan nul), wil dat uiteraard nog niet meteen zeggen dat de litigieuze informatie de beurskoers ook daadwerkelijk heeft beïnvloed. Een positieve of negatieve koersuitslag is immers een normaal (en dagelijks voorkomend) verschijnsel op de beurs, en zo’n koersuitslag kan zich ook voordoen wanneer er op de desbetreffende handelsdag in het geheel geen (relevant) nieuws werd gepubliceerd.60 Om te kunnen beoordelen of er daadwerkelijk sprake is van een causaal verband tussen (het publiceren van) de litigieuze informatie en het geobserveerde abnormale rendement, moet men daarom toetsen of dit rendement statistisch significant is.61 Dit houdt in dat wordt gekeken of de absolute waarde van het geobserveerde abnormale rendement zodanig groot (en daarmee uitzonderlijk) is, dat – statistisch gezien – kan worden uitgesloten dat het hier louter om een toevalstreffer gaat.62 ,63

De procedure voor het toetsen van statistische significantie is als volgt.64 Eerst wordt de zogenoemde ‘nulhypothese’ opgesteld (deze duidt men meestal aan met H0). Deze nulhypothese luidt dat het geobserveerde abnormale rendement niet significant afwijkt van nul. Anders gezegd luidt de nulhypothese dat het geobserveerde abnormale rendement niet werd veroorzaakt door de litigieuze informatie, en dat dit louter een toevalstreffer was. Deze nulhypothese wordt getoetst tegen de tweezijdige alternatieve hypothese dat het geobserveerde abnormale rendement wel significant afwijkt van nul,65 dan wel – indien de onderzoeksvraag daar aanleiding toe geeft – tegen de eenzijdige alternatieve hypothese dat het geobserveerde abnormale rendement significant kleiner is dan nul (of wanneer wordt verondersteld dat de litigieuze informatie een positief koerseffect heeft, tegen de eenzijdige alternatieve hypothese dat het geobserveerde abnormale rendement significant groter is dan nul).66

Vervolgens wordt de zogenoemde ‘probability value’ (‘p-value’) berekend. De p-value (in het Nederlands: p-waarde of overschrijdingskans) van een gegeven steekproefuitkomst is de kans om een uitkomst zo extreem als, of extremer dan, de actuele steekproefuitkomst te krijgen ervan uitgaande dat de nulhypothese juist is.67 Om deze p-waarde te kunnen berekenen, moet het geobserveerde abnormale rendement eerst worden getransformeerd naar een standaard test-statistic.68 Deze transformatie houdt in dat eerst het onder de nulhypothese verwachte abnormale rendement (bedoeld wordt het verwachte abnormale rendement onder de aanname dat de nulhypothese juist is) van het geobserveerde abnormale rendement wordt afgetrokken, en dat vervolgens dit verschil wordt gedeeld door de standaarddeviatie van de (onderliggende populatie van) abnormale rendementen.69 Het resultaat is de te analyseren test-statistic (de test-statistic wordt meestal aangeduid met de hoofdletter Z of de hoofdletter T, al naar gelang wordt uitgegaan van een normale dan wel een Student’s t-verdeling). Algebraïsch kan dit als volgt worden uitgedrukt:

id-75b88d1f-983e-48a4-bf27-93d35f22baeb

waarbij art staat voor het geobserveerde abnormale rendement, E[art | H0] staat voor het verwachte abnormale rendementen onder de aanname dat de nulhypothese juist is, en σ staat voor de standaarddeviatie van de onderliggende populatieverdeling van abnormale rendementen.70 Om de aldus berekende test-statistic vervolgens te kunnen vertalen naar een p-waarde, moet bekend zijn wat de onderliggende statistische verdeling van de test-statistic is. In de Amerikaanse praktijk wordt meestal uitgegaan van een zogenoemde ‘normale verdeling’.71 Zolang men aanneemt dat de storingsterm (εt) van het marktmodel normaal is verdeeld, is dat een plausibel uitgangspunt.72 Aan de hand van de bekende grenswaarden (ook wel genoemd ‘kritieke waarden’) van de standaard normale verdeling, kan aan de verkregen test-statistic vervolgens een p-waarde worden toegekend. Is in werkelijkheid echter niet voldaan aan de aanname van een normaal verdeelde storingsterm (εt), dan mag men ook voor de te analyseren test-statistic niet van een normale verdeling uitgaan.73 In dat geval verdient het de voorkeur om gebruik te maken van methoden van zogenoemde ‘non- parametrische’ statistiek.74 Dit laatste laat ik hier verder rusten.

Is de berekende p-waarde kleiner dan een vooraf gekozen significantieniveau (meestal wordt gekozen voor een niveau van 5%), dan betekent dit dat het geobserveerde abnormale rendement – onder de aanname dat de nulhypothese juist is, dus onder de aanname dat de litigieuze informatie geen koersinvloed had – als te extreem (of anders gezegd: als te toevallig) wordt ervaren.75 De nulhypothese wordt dan verworpen met als gevolg dat het geobserveerde rendement als statistisch significant wordt aangemerkt. Dit betekent dat statistisch gezien het koerseffect wordt geacht door de litigieuze informatie te zijn veroorzaakt. Is de berekende p-waarde daarentegen groter dan het gekozen significantieniveau, dan wordt het geobserveerde abnormale rendement niet als te extreem ervaren. In dat geval kan de nulhypothese niet worden verworpen en wordt het geobserveerde rendement niet als statistisch significant aangemerkt.

Wat de keuze van het significantieniveau betreft waartegen de nulhypothese wordt getoetst, is het van belang op te merken dat deze keuze in essentie een ‘trade off’ impliceert tussen twee typen fouten.76 De eerste fout is dat de nulhypothese ten onrechte wordt verworpen, met andere woorden dat ten onrechte wordt aangenomen dat de litigieuze informatie de beurskoers heeft beïnvloed, terwijl dat in werkelijkheid niet het geval was. Deze fout noemt men een zogenoemde ‘type I-fout’. De tweede fout is dat de nulhypothese ten onrechte niet wordt verworpen, met andere woorden dat ten onrechte wordt aangenomen dat de litigieuze informatie de beurskoers niet heeft beïnvloed, terwijl dat in werkelijkheid wel het geval was. Deze fout noemt men een zogenoemde ‘type II-fout’.77 De kans op een type I-fout kan worden gereduceerd door in de bovengenoemde procedure te kiezen voor een relatief hoog significantieniveau. Zo zal de kans op het begaan van een type I-fout kleiner zijn wanneer bijvoorbeeld wordt gekozen voor een significantieniveau van 1%, dan wanneer wordt gekozen voor een significantieniveau van 10%.78 De keerzijde van de keuze voor een hoger significantieniveau (en daarmee voor een kleinere kans op een type I-fout) is echter – en dat is ook precies de trade off waar het hier om gaat – dat de kans op een type II-fout hierdoor toeneemt.79 Als het namelijk onwaarschijnlijker wordt dat ten onrechte een causaal verband wordt aangenomen tussen de litigieuze informatie en het geobserveerde koerseffect, waar dit verband in werkelijkheid niet bestaat, zal het tegelijkertijd waarschijnlijker worden dat ten onrechte geen causaal verband wordt aangenomen waar dit verband in werkelijkheid wel bestaat.80 Aangezien in het aansprakelijkheidsrecht een kleine kans op type I-fouten in het algemeen belangrijker wordt gevonden dan een kleine kans op type II-fouten, is het gebruikelijk om in aansprakelijkheidsprocedures voor een relatief hoog significantieniveau te kiezen.81 In de Amerikaanse securities litigation-praktijk wordt meestal gekozen voor een significantieniveau van 5% (maar ook een significantieniveau van 1% of 10% komt wel voor).82 Vijf procent is overigens ook het significantieniveau dat binnen de financieel-economische wetenschap als standaard wordt gehanteerd.

Tot slot wijs ik er nog op dat in de praktijk nog wel eens verwarring bestaat over de juiste betekenis van de p-waarde in relatie tot het begrip statistische significantie.83 Zo komt men nog wel eens tegen dat de p-waarde wordt geïnterpreteerd als de kans dat de nulhypothese juist is, met andere woorden als de kans dat het veronderstelde verband in werkelijkheid niet bestaat.84 Deze interpretatie berust op een hardnekkig misverstand. Bij deze interpretatie wordt namelijk miskend dat de p-waarde niet meer (en niet minder) is dan een conditionele kans, namelijk de kans om een uitkomst zo extreem als, of extremer dan, de actuele steekproefuitkomst te krijgen ervan uitgaande dat de nulhypothese juist is. De berekende p-waarde (of het gekozen significantieniveau) hoeft dus op zichzelf niet zoveel te zeggen over de kans dat de nulhypothese juist is.85 Het doel van het uitvoeren van een event study is dan ook uitdrukkelijk niet om aan de (aannemelijkheid van de) nulhypothese een bepaalde kans toe te kennen.86 Illustratief voor de hier bedoelde verwarring was een door de eisende beleggers ingebracht deskundigenbericht in de zaak In re American International Group, Inc. Securities Litigation (‘In re AIG’).87 De uitkomst van de event study die in dit deskundigenbericht centraal stond, was dat de p-waarde van de (naar aanleiding van de corrigerende mededeling) geobserveerde koersreactie kleiner was dan een (vooraf gekozen) significantieniveau van 10%.88 De deskundige verbond hieraan de conclusie dat er een kans was van (minstens) 90% dat de koersreactie inderdaad door de litigieuze informatie was veroorzaakt, en dat er een kans was van (hoogstens) 10% dat de koersreactie niet door de litigieuze informatie was veroorzaakt. Gegeven het feit dat de (bij de gemeten koersreactie behorende) p-waarde wordt berekend onder de aanname dat de nulhypothese juist is, is dit dus een verkeerde interpretatie van de (uitkomst van de) event study.89 De enige (juiste) conclusie die in dit geval kan worden getrokken, is dat uitgaande van deze aanname de geobserveerde koersreactie als te extreem moet worden aangemerkt (althans bij een significantieniveau van 10%). Anders gezegd: bij een significantieniveau van 10% is sprake van een statistisch significant (causaal) verband tussen de geobserveerde koersreactie en de litigieuze informatie.

Deze functie is alleen te gebruiken als je bent ingelogd.